П’ятимодова квазілінійна модель нелінійної динаміки протяжної системи

Abstract

Розподілені системи знайшли широке застосування на практиці. Це космічні зв'язки у навколоземному просторі протяжністю в десятки кілометрів. Ними описуються залізобетонні палі в ґрунті при розрахунках напружено-деформованого стану й оцінці технічного стану; трубопроводи як в повітрі, так і в рідині; підводні буксирувані системи. Відомі підводні системи ерліфта великої протяжності для видобутку мінералів (конкрецій) з дна океану протяжністю в 5-10 км. Для вирішення завдань динаміки таких систем в різних середовищах відомі математичні моделі є не цілком коректними з точки зору врахування різноманіття хвильових процесів. Це визначає необхідність побудови уточнених хвильових моделей. У статті отримана нова квазілінійна математична модель, що описує нелінійну чотирьохмодову динаміку розподіленої системи в просторово-неоднорідному полі масових і поверхневих сил. Вона описується нелінійною системою дванадцяти рівнянь першого порядку в часткових похідних. Для неї виконуються принципи граничності і гіперболічності. У сукупності з крайовими і початковими умовами модель може застосовуватися для опису динаміки і статики геометрично і фізично нелінійних стрижневих елементів, паль в ґрунті, канатів кранового обладнання, шахтних підйомників, підвісних канатних доріг, систем що буксируються в потоці рідини і газу, ін. Для двохмодової просторової редукції моделі розглянута теорема про коректність задачі Коші. Апробація моделі проведена на основі чисельного рішення просторової задачі про поширення чотирьох хвиль трьох типів: поздовжніх, конфігураційних в напрямку нормалі і бінормалі, крутильних. За допомогою чисельного алгоритму і програми на основі методу скінченних різниць уточнені більш ранні припущення щодо руху кабелю вздовж початкової конфігурації буксируваної лінії при зміні його довжини. З’ясувалося, що це припущення вірне лише для початкової перехідної ділянки. Встановлено також, що при заданій тахограмі в конфігурації буксируваної лінії спостерігається точка перегину, яка зміщується зверху вниз при підйомі кабелю. Це може бути чинником, що сприяє обриву кабельної системи та петлеутворенню при буксируванні.