158                    ISSN 0132-1471. Опір матеріалів і теорія споруд. 2011. № 87 
 

  Шульга М.О., Тробюк О.М. 

УДК 539.3 
 

М.О. Шульга, д-р фіз.-мат. наук 
О.М. Тробюк  

 
ПРО ЗМІШАНУ СИСТЕМУ РІВНЯНЬ ТИПУ ТИМОШЕНКА 
КОЛИВАНЬ НЕОДНОРІДНИХ ПЛАСТИН 

 
 
Змішана система рівнянь типа Тимошенка коливань неоднорідних за своїми 

механічними властивостями пластин змінної товщини представлена в гамільтоновій формі 
по просторових координатах. 

 
Для конструктивних елементів будівельних споруд (несучих об’єктів, 

пластинчатих або оболонкових перекриттів та ін.) притаманна природна 
чи технологічна неоднорідність їх структури. Розмаїття неоднорідностей 
вимагає постійного вдосконалення методів моделювання, вибору 
теоретичних розрахункових схем і методів розрахунку несучої здатності 
при статичних і динамічних навантаженнях експлуатаційного та 
природного походження. Складність практичних задач обумовлює 
застосування, як правило, єдино можливих чисельних методів, що 
ґрунтуються на різноманітних сіткових апроксимаціях континуальних 
моделей (методу скінчених елементів в його різних варіантах, варіаційно-
різницеві методи, методи прямих (методи проектування ) для зменшення 
розмірності задач та ін.). 

Найбільш широке застосування, при виборі розрахункових схем, 
належить прикладним теоріям стержнів, пластин і оболонок. В 
монографії [2] вперше в світовій науковій літературі було запропоновано 
представлення рівнянь теорії пружності в гамільтоновій формі по 
просторовій координаті. Подальшому розвитку такого підходу присвячені 
чисельні роботи, аналіз яких проведено в оглядах [5-7] та в інших 
публікаціях [3,4,8]. Користуючись цими ідеями в даній статті 
пропонується застосування гамільтонового формалізму по просторових 
координатах в теорії типу Тимошенка коливань неоднорідних за своїми 
механічними властивостями пластин змінної товщини.  

Серединну відлікову площину 0z =  пластини, віднесемо до 
прямокутної декартової системи координат 1 2, ,x x z. Нехай механічні 

властивості пластини (густина матеріалу 1 2( , )x xρ , модулі першого 

1 2( , )E x x  і другого 1 2 13 1 2 23 1 2( , ), ( , ), ( , )G x x G x x G x x  роду, коефіцієнт 

Пуассона 1 2( , )x xν ) залежать від планарних координат 1 2,x x . Лицеві 

поверхні 1 2( , ) / 2z h x x= ± , причому змінна товщина 1 2( , )h x x  пластини є 



ISSN 0132-1471. Опір матеріалів і теорія споруд. 2011. № 87                     159 
 

 

достатньо гладкою функцією координат 1 2,x x , що дозволяє 

користуватися теорією типа Тимошенка згинання пластин. Таким чином 

згинальна жорсткість 2
1 (1 )D I E v= − , зсувна жорсткість 

3 13 23G GB k G h k G h= = , де Gk  – коефіцієнт зсуву, момент інерції 

поперечного перерізу на одиницю довжини 3
1 12I h=  також залежать від 

координат 1 2,x x . 

В теорії типу Тимошенка коливань пластин згинальні 11 22,M M  та 

крутильні 12 21,M M  моменти, перерізуючі сили 1 2,Q Q , прогин w  і 

функції зсуву 1 2,ψ ψ  зв’язані рівняннями: 
2

11 21 1
1 1 2

1 2
2

12 22 2
2 1 2

1 2
2

1 2
2

1 2

,

,

M M
Q I

x x t
M M

Q I
x x t

Q Q wh
x x t

∂ ∂ ∂ ψ
+ − = −ρ

∂ ∂ ∂
∂ ∂ ∂ ψ

+ − = −ρ
∂ ∂ ∂

∂ ∂ ∂+ = ρ
∂ ∂ ∂

                               

(1) 

та матеріальними співвідношеннями: 

1 2 1 2
11 22

1 2 1 2

1 2
12

1 2

1 3 1 2 3 2
1 2

, ,

1 ,
2

, .

M D v M D v
x x x x

vM D v
x x

w wQ B Q B
x x

∂ψ ∂ψ ∂ψ ∂ψ   = − + = − +   ∂ ∂ ∂ ∂   
∂ψ ∂ψ −= − + ∂ ∂ 

   ∂ ∂= − ψ = − ψ   ∂ ∂   

            

(2) 

Систему рівнянь (1), (2) запишемо в змішаній нормальній 
операторній формі Коші відносно функцій 22 1 2 21 2, , , , ,M w M Qψ ψ , які 

при досконалому механічному контакті залишаться неперервними на 
перерізах 2x const=  

( )

2
22 2 21

1 22
2 1

1 2
21

2 1

2
2

2 3

;

2 ;
1

;

M M
I Q

x xt

M
x x D

Qw
x B

∂ ∂ ψ ∂= −ρ − +
∂ ∂∂

∂ψ ∂ψ= − −
∂ ∂ − ν
∂ = ψ +
∂

 



160                    ISSN 0132-1471. Опір матеріалів і теорія споруд. 2011. № 87 

 

 

2 1
22

2 1
2

21 11 1
1 12

2 1
2

2 1
2

2 1

1 ;

;

.

M
x D x

M M
I Q

x x t
Q Q wh
x x t

∂ψ ∂ψ
= − − ν

∂ ∂
∂ ∂ ∂ ψ

= − − ρ +
∂ ∂ ∂

∂ ∂ ∂= − + ρ
∂ ∂ ∂

                     

(3) 

З системи (3) потрібно виключити 11M  та 1Q , замінивши їх на 

22 1, ,M wψ  користуючись залежностями (1), (2). Маємо  

( )2 1
1 3 1 11 22

1 1
, 1 .wQ B M M D

x dx
∂ψ ∂= − ψ = ν − − ν ∂ 

    

(4) 

В результаті систему (3) запишемо так 

  

( )

2
22 2 21

1 22
2 1

1 2
21

2 1

2
2

2 3

;

2 ;
1

;

M M
I Q

x xt

M
x x D

Qw
x B

∂ ∂ ψ ∂= −ρ − +
∂ ∂∂

∂ψ ∂ψ= − −
∂ ∂ − ν
∂ = ψ +
∂

 

( )

2 1
22

2 1

2 2
221 22

3 1 1 32 2
2 1 11

2 2
2 1

3 32 2
2 1 1

1 ;

1 ;

.

M
x D x

M M wB D I B
x x xx t

Q
B h B w

x x t x

∂ψ ∂ψ
= − − ν

∂ ∂
 ∂ ∂ ∂ ∂ ∂= −ν − + − ν − ρ ψ + ∂ ∂ ∂∂ ∂  

 ∂ ∂ψ ∂ ∂= + ρ − ∂ ∂ ∂ ∂  

     

(5) 

При перетворенні рівнянь (1), (2) до систем (3) і (5) вважаємо, що 
механічні і геометричні параметри або слабо залежать від координати 1x  
або зовсім не залежать від неї. В той же час коефіцієнти системи (3) і (4), 
а значить і рівнянь (1), (2), можуть бути довільними функціями 
координати 2x  з розривами першого роду.

 
Покажемо, що система (5) є операторною гамільтоновою системою 

[1] по просторовій координаті 2x , тобто
 

2 2

€ €€ €
, , 1, 2, 3.

€ €
i i

i i

q pH H i
x p x q

∂ ∂∂ ∂= = − =
∂ ∂ ∂ ∂

                    

(6) 

З цією метою операторну функцію Гамільтона візьмемо у вигляді 



ISSN 0132-1471. Опір матеріалів і теорія споруд. 2011. № 87                     161 
 

 

1 1 €€ € ,
2 2ij i j ij i jH P q q Q p p= +

                                   
(7)

 

де симетричні операторні матриці €P  і €Q мають наступні ненульові 
елементи: 

11 12 21
1

1€ € €, ,P P P
D x

∂− = − − = − = −ν
∂

 

( ) 2 2
2

22 3 1 23 32 32 2
11

€ € €1 , ,P B D I P P B
xx t

∂ ∂ ∂− = − + − ν − ρ − = − =
∂∂ ∂

 

2 2 2

33 3 11 1 12 212 2 2
11

€ € €€ , , ,P h B Q I Q Q
xt x t

∂ ∂ ∂ ∂− = ρ − = −ρ = = −
∂∂ ∂ ∂

 

( )13 31 22 33
2

2 1€ € € €1, , .
1

Q Q Q Q
BD

= = = − =
− ν

                                      

(8) 

Канонічні змінні визначимо так: 

[ ] [ ] [ ] [ ]1 2 3 22 1 1 2 3 2 21 2€ € € € € €, , , , , , , , , .q q q M w p p p M Q= ψ = ψ
          

(9) 

Очевидно, що система (6) з урахуванням (7) і (8) співпадає з 
системою (5), тобто система (5) є операторною гамільтоновою системою. 

Тепер систему рівнянь (1), (2) запишемо в змішаній нормальній 
операторній формі Коші відносно функцій 11 2 1 12 1, , , , ,M w M Qψ ψ , які 

при досконалому механічному контакті залишаться неперервними на 
перерізах 1x const=   

( )

( )

2 2
11 1 12

1 12
1 2

2 1
12

1 2

1
1

1 3

1 11 2

1 2
2 2

212 11 2 2
1 3 2 32 2

1 2 22
2 2

1 2
3 3 2 2

1 2 2

,

2 ,
1

,

,

1 ,

.

M M
I Q

x xt

M
x x D

Qw
x B

M
x D x

M M wD I B B
x x xx t

Q w wB B h
x x x t

∂ ∂ ψ ∂
= −ρ − +

∂ ∂∂
∂ψ ∂ψ

= − −
∂ ∂ − ν
∂ = ψ +
∂
∂ψ ∂ψ

= − − ν
∂ ∂
∂ ∂ ∂ ψ ∂ ψ ∂= −ν + − ν − ρ − ψ +
∂ ∂ ∂∂ ∂

∂ ∂ψ ∂ ∂= − + ρ
∂ ∂ ∂ ∂

    (10) 

По двом іншим рівнянням системи (1), (2) визначаються згинальний 
момент 22M  і поперечна сила 2Q , які не ввійшли в систему (10): 



162                    ISSN 0132-1471. Опір матеріалів і теорія споруд. 2011. № 87 

 

 

( )2 2
22 11 2 3 2

2 2
1 , .wM M D Q B

x x
∂ψ  ∂= ν − − ν = − ψ ∂ ∂ 

             (11) 

Система (10) записана у вигляді операторної нормальної форми Коші 
по просторовій координаті 1x , коли за розв’язки взяті функції 

11 2 1 12 1, , , , ,M w M Qψ ψ , які при досконалому механічному контакті 

залишаться неперервними на перерізах 1x const=  
При перетворенні рівнянь (1), (2) до системи (10) приймалося, що 

механічні і геометричні параметри або слабо залежать від координати 2x
 

або зовсім не залежать від неї. В той же час коефіцієнти системи (10), а 
значить і рівнянь (1), (2), можуть бути довільними функціями координати 

1x  з розривами першого роду. 
Покажемо, що система (10) є операторною гамільтоновою системою 

[1] по просторовій координаті 1x  

1 1

€ €€ €
, , 1, 2, 3.

€ €
i i

i i

q pH H i
x p x q

∂ ∂∂ ∂= = − =
∂ ∂ ∂ ∂

                      

(12) 

З цією метою операторну функцію Гамільтона візьмемо у вигляді: 
1 1 €€ € ,
2 2ij i j ij i jH P q q Q p p= +                                 (13) 

де симетричні операторні матриці €P  і €Q  мають наступні ненульові 

елементи: 

11 12 21
2

1€ € €, ,P P P
D x

∂− = − − = − = −ν
∂

 

( ) 2 2
2

22 3 1 23 32 32 2
22

€ € €1 , ,P B D I P P B
xx t

∂ ∂ ∂− = − + − ν − ρ − = − =
∂∂ ∂

 

2 2 2

33 3 11 1 12 212 2 2
22

€ € €€ , , ,P h B Q I Q Q
xt x t

∂ ∂ ∂ ∂− = ρ − = −ρ = = −
∂∂ ∂ ∂

 

( )13 31 22 33
2

2 1€ € € €1, , .
1

Q Q Q Q
BD

= = = − =
− ν

                                    

(14) 

Канонічні змінні визначимо так: 

[ ] [ ] [ ] [ ]1 2 3 11 2 1 2 3 1 12 1€ € € € € €, , , , , , , , , .q q q M w p p p M Q= ψ = ψ
          

(15) 

Таким чином в даній статті системи рівнянь теорії типу Тимошенка 
коливань пластин для двох випадків неоднорідності механічних 
властивостей і товщини пластини зведено до рівнянь гамільтонового типу 
(5) і (10) по просторовій координаті неоднорідності. Такий підхід 
доцільно застосувати в проекційних методах розрахунку динамічних 
характеристиках реальних об’єктів. 



ISSN 0132-1471. Опір матеріалів і теорія споруд. 2011. № 87                     163 
 

 

СПИСОК ЛІТЕРАТУРИ 
 

1. Павловський М.А. Теоретична механіка. – К.: Техніка, 2002. – 512 с. 
2. Шульга Н.А. Основы механики слоистых сред периодической структуры. – К.: Наук. 

думка, 1981. – 200 с. 
3. Шульга О.М. Волновые решения уравнений типа Тимошенко поперечных колебаний 

пластин с периодическими по одной координате параметрами // Теорет. и прикладная 
механика. – 1996. – Вып. 26. – с. 105 – 111. 

4. Шульга М.О. О гамильтоновом формализме в теории типа Тимошенко изгиба пластин. – 
Теор. и прикладная механика. – 2009. – Вып. 45. – с. 3 – 7. 

5. Shul’ga N.A. Propagation of Elastic Waves in Periodically Inhomogeneous Media // Int. Appl. 
Mech. – 2003. 39, N 7. – P. 763-796. 

6. Shul’ga N.A. Propagation of Coupled Waves in Layered-Periodic Continua for Interaction with 
an Electromagnetic Field // Int. Appl. Mech. – 2003. 39, N 10. – P. 1146-1172. 

7. Shul’ga N.A. Theory of Dynamical Processes in Mechanical Systems and Materials of Regular 
Structures // Int. Appl. Mech. – 2009. 45, N 12. – P. 1301-1330. 

8. Shul’ga N.A. On Certain Mixed System of Equations of Theory of Elasticity // Int. Appl. 
Mech. – 2010. 46, N 3. – P. 247-251. 
 

Стаття надійшла до редакції 17.10.2011 р. 
 
 

Шульга М.О., Тробюк О.М. 
О СМЕШАННОЙ СИСТЕМЕ УРАВНЕНИЙ ТИПА ТИМОШЕНКО КОЛЕБАНИЙ 
НЕОДНОРОДНЫХ ПЛАСТИН 
Смешанная система уравнений типа Тимошенко колебаний неоднородных за своими 
механическими свойствами пластин переменной толщины представлена в гамильтоновой 
форме по пространственным координатам.  
 
 
Shul’ga N.A., Trobiuk O.M. 
ABOUT A MIXED SYSTEM OF EQUATIONS OF TIMOSHENKO’S T YPE VIBRATIONS 
OF HETEROGENEOUS PLATES 
Mixed system of equations of Timoshenko’s type vibrations of heterogeneous by its mechanical 
properties plates of a variable thickness is presented in the Hamiltonian form of spatial coordinates.